Calcul d'une somme de termes d'une suite géométrique - Exemple 3

Un particulier épargne sur un livret bancaire à partir du 1^er janvier 2024 en déposant la première année  \(1\,000\)  € et, les années suivantes, une somme qui augmente chaque année de  \(10\,\) %. On souhaite savoir de quelle somme d'argent il disposera au bout de 10 ans.

On modélise par une suite géométrique  \((v_n)\)  le montant déposé sur le livret l'année 2024 \(+n\) . Le premier terme est  \(v_0=1\,000\)  et  `q=1+10/100=1,1` . 

On doit déterminer la somme  `v_0+v_1+...+v_9` . 

On a :  \(v_0+v_1+...+v_9=v_0\times\dfrac{1-q^{10}}{1-q}=1\ 000\times\dfrac{1-1,1^{10}}{1-1,1}=10\ 000(1,1^{10}-1)\) . 

On trouve une valeur approchée du résultat à la calculatrice :  \(v_0+v_1+...+v_9\approx15\,937\)  €.